- 内容に依存しない発話
- タイトル ［問題のタイトル］)
- タイトル ［今日の日付］)
- タイトル p.○○［教科書のページ番号］)
- 概要 前回／既習の内容と関連づけて本時の概要を説明する。)
- 例 ［上のタイトル］の例を以下に示す。)
- 手続き 方程式をどの文字について解くか明示／確認する。)
- 手続き 文字に代入すべき値を明示／確認する。)
- 手続き [下の定理／公式]を使って解く。)
- 証明 この証明は次回以降にやる。)
- 概要 今日の学習のポイントを確認する。)
- 概要 次回までに覚え（復習し）てくるべきことを確認する。)
- 発問 この公式を使うのに、既に求まっているのはどれですか？)
- 名称 これを何と呼びましたか？)
- 概要 ［上のタイトル］とはどのようなものでしたか？)
- 式 ［上のタイトル］はどのような式で表わされましたか？)
- 式 これはどんな[意味がある／使い方ができる]でしょう？)
- 式 同じものを表す式は他にもありませんでしたか？)
- 場合分け これらの式はどのように使い分けましたか？)
- 特徴 ○○と言えば、覚えておくべき特徴がありませんでしたか？
- 事象 これをどのような場合に（状況で）使いますか？)
- 表記法 はどのように表記しましたか？)
- 例 の具体例としてどんなものがありましたか？)
- 条件 これが成り立つ条件は？／与えられた条件の下でこれは使えますか？)
- 条件 これをどのような条件の時に使いますか？
- 関係 これらの間にはどのような関係がありますか？)
- 数学的な見方・考え方
- ヒント 定義の意味を分解して理解しましょう。)
- ヒント グラフの特徴を「形」と「位置」に分解して考えましょう。)
- ヒント 識別できるようになりましょう。)
- ヒント 関数に数値を規則的に代入して、(x,y)の値を求めましょう。)
- ヒント xを規則的に変えた時のyの変化の規則を探しましょう。)
- ヒント 同じxに対して、yとy'とに規則性があるか考えましょう。)
- ヒント 数式化するヒントとして、図に表す。)
- ヒント 事象に対応する既知の公式（数式）を提示する。)
- ヒント 公式に代入すべき値（式）を文章から読み取る。)
- １次関数[の定義]
- タイトル １次関数
- 概要 yがxの１次式で表されるような関数のこと（を）
- 名称 「yはxの１次関数」という。
- 式 y＝ax+b ただし、a≠0（aは0でない）。
- 式 １次関数y＝ax+b （a＝0だと１次関数ではないからa≠0と解釈する）。
- 例 １次の項だけの１次関数の例を示す。
- 例 yがxに正比例する時、yはxの１次関数である。
- 例 １次の項と定数項だけの１次関数の例を示す。
- 例:反例学 次のものは１次関数ではない。
- 例:反例 ２次式で表される関数を提示する。
- 例:反例 yがxに反比例。ｙ＝a/x。
- 現象 空の水槽に、一定の速さで水位が上がるように水を入れる。x分後の水位y。
- 現象 縦の長さaの長方形の横の長さをx、面積をyとする。
- 現象 Ａ地点からａkm離れたＢ地点まで毎時ｂkmで歩く。x時間後のＢ地点までの距離y。
- 現象 気温は地上から10[km]までは、100[m]高くなるごとに0.6[℃]ずつ下がる。
- 現象 地上の気温がa[℃]のとき、地上から高さx[km]の地点の気温y[℃]。
- 発問 １次関数とはどんな関数でしたか？
- 発問 １次関数の例を挙げなさい。
- 発問 次の関数は１次関数ですか？
- 発問 y＝ax＋bが１次関数であるための条件は何ですか？
- 発問 この現象は１次関数で表せますか？
- 発問 １次関数と比例とはどういう関係にありますか？
- 発問 １次関数の中で、切片が0であるものを何といいましたか？
- 関数[の定義]
- タイトル 関数)
- 根拠 数学では２つの数量の関係を文字式やグラフに表して調べることが多い。)
- 例 中学では、比例、反比例、一次関数などを学んだ。)
- 概要 変数xの値に対応して変数yの値が１つだけ定まる(時)、
- 名称 「yはxの関数」という。
- 識別 関数であるには、変数xの値に対応する変数yの値は１つに定まる必要がある。)
- 概要 関数は、２変数の対応関係という意味と、xからyへの変換という意味がある。)
- 表記法 yがxの関数である時、y＝f(x)、関数f(x)などと表す。)
- 表記法 関数の名前は、fでも、gでも構わない。（混同されないようにする。）)
- 表記法 混同される恐れがなければ、fを繰り返し使ってもよい。)
- 例 比例)
- 例 反比例)
- 例 １次関数)
- 例 y＝[数値]x^2)
- 現象 水が入った水槽から一定量の水を放出する時の時間と残量の関係。)
- 発問 変数yがxの関数であるための条件とは何ですか？)
- 発問 次のものは関数ですか？)
- 不適切次元 [x＝値 の形や、y＝値 の形のものを出題する。])
- 不適切次元 [不連続関数の例を出題する。])
- 発問 関数の例を挙げなさい。)
- 発問 変数yがxの関数であることをどのように表しますか？)
- 関数の値[の定義]
- タイトル 関数の値
- 根拠 関数では、変数xの値に対応して変数yの値が１つだけ定まる。
- 概要 y＝f(x)のxの値を定めた時、対応して決まるyの値を関数の値のこと（を）
- 名称 「関数の値」という。
- 例 関数y＝x+5のxの値を2に定めた時、関数の値は7である。
- 表記法 xの値kに対応する関数y＝f(x)の値をf(k)と表す。
- 表記法 xの値を文字式（例えば、a+1）で定め、 f(a+1)と表す場合もある。
- 手続き 関数の値f(k)を求めるには、f(x)の式にx＝kを代入して計算する。
- 手続き kが文字式の時、f(x)の式に文字式を代入して、展開・整理する。
- 発問 f(x)＝[関数の式]のとき、f(p)を求めよ。
- 不適切次元 ［中学までに学んだ関数の範囲で出題する］
- 不適切次元 ［値を代入して計算可能な２次以上の数式も出題する］
- 不適切次元 ［分数式や絶対値などを含んだ式も出題する］
- 不適切次元 ［整数だけでなく、分数や小数の場合も出題する］
- 不適切次元 ［数値だけでなく文字式を代入する場合も出題する］
- 定義域・ｘの変域[の定義]
- タイトル 関数の定義域)
- 概要 関数y＝f(x)において，変数xがとる値の範囲のこと（を）
- 名称 「定義域」と言う。
- 根拠 定義域は必ず存在し、断りが無い場合は実数で式が意味を持つ範囲。
- 表記法 関数の定義域は、関数の後ろに括弧書きで表す。
- 例 単一の不等号で示される場合（[数値1]≦xなど）
- 例 下限と上限を指定する場合［y＝3x-1 (-1≦x＜3)など］
- 例 ある特定の値を除外する場合［y＝1/x (x≠0)など］
- 発問 次の関数の定義域を示せ。
- 不適切次元 ［容器の深さ、目的地までの距離など、物理的制約がある場合］
- 不適切次元 ［絶対温度と摂氏温度、シャルルの法則など、下限がある場合］
- 関数の値域・ｙの変域[の定義]
- タイトル 関数の値域
- 概要 関数y＝f(x)が定義域に対応してとりうる値の範囲のこと（を）
- 名称 「値域」という。
- 表記法 関数の値域は、特別な場合を除いて、不等式の形で表す。
- 表記法 「全ての実数」「y≠0」などの例外もある。
- 例 １次関数で、定義域を不等式で与える場合。
- 例 ２次関数y＝x^2で、定義域を不等式で与える場合。
- 例 ２次関数y＝x^2で、定義域を特に示さない場合。
- 例 反比例y＝1/xで、定義域を特に示さない場合［値域はy≠0］。
- 手続き １次関数の場合、グラフから明らかに、値域は左端から右端の範囲。
- 手続き 等号が含まれるか否かに注意する。
- 発問 関数y＝f(x) [定義域] の値域を求めよ。
- 発問 関数y＝f(x) [定義域] のグラフをかき、値域を求めよ。
- 発問 定義域に対応するグラフの範囲はどこですか？
- 発問 yの値が一番大きく／小さくなる点をグラフ上で指示しなさい。
- 発問 その点のxの値を関数に代入して、最大／最小値を求めなさい。
- 不適切次元 ［２次関数y＝ax^2の場合も出題する］
- 不適切次元 ［最高次の係数が正の場合、負の場合の両方を出題する］
- 不適切次元 ［両端の値の少なくとも一方が負の値である場合も出題する］
- 座標平面[の定義]
- タイトル 座標平面
- 根拠 垂直に交わる２本の数直線上の値で、平面上の点の位置を表せる。
- 概要 点の位置を表すために２本の数直線で定めた平面のこと（を）
- 名称 「座標平面」という。
- 表記法 座標平面には、原点、軸の名前、正の向きを示す矢印を書く。
- 図表 座標平面の図
- 例 座標平面としては、通常、x-y平面を用いる。
- 例 軸の名前は、xとyでなくてもよい（物理のv-t図やs-t図）。
- 座標軸
- 座標平面上の点P(a，b)
- タイトル 座標平面上の点P(a，b)
- 根拠 座標平面上の点Ｐの位置は、x軸とy軸の値を用いて、実数の組(a,b)で表せる。
- 概要 点Ｐの位置をx軸とy軸の値の組(a,b)で表したもの（を）
- 名称 「点Ｐの座標」という。
- 表記法 座標が(a,b)である点を点(a,b)と書く。
- 表記法 複数の点の座標を示す時は、Ｐ(a,b)、Ｑ(c,d)のように書く。
- 図表 座標平面上のＰ(a,b)の図
- 例 原点の座標は、(0,0)。
- 発問 図中の点の座標を答えなさい。
- 発問 原点の座標を答えなさい。
- 発問 直線ＡとＢとの交点の座標を答えなさい。
- 不適切次元 [１次関数とx軸またはy軸との交点の場合]
- 不適切次元 [連立１次方程式になる場合]
- ヒント xに何を代入するとy軸と関数との交点が求まるか？
- ヒント x軸は、y＝0という式で表せる。
- ヒント y＝0となるxを求めることは、方程式の解を求めることである。
- ヒント ２つの直線がx＝kで交わる時、f(k)＝g(k)になる。
- 原点
- タイトル 原点
- 概要 座標平面を定める２本の直線が垂直に交わる点のこと（を）
- 名称 「原点」という。
- 表記法 座標平面上では、一般に、原点のことを記号Ｏを使って表す。
- 識別 原点の座標は、(0,0)である。
- 図表 （座標平面上における原点の位置の図）。
- 関数のグラフとその方程式[の定義]
- タイトル 関数のグラフ
- タイトル グラフの方程式
- 根拠 定義域に属するx＝pのそれぞれについて、関数y＝f(p)の値が定まる。
- 根拠 この(p,f(p))を座標とする点の全体は、座標平面上に図形を形づくる。
- 概要 関数y＝f(x)が座標平面上に形づくる図形のこと（を）
- 名称 「関数y＝f(x)のグラフ」という。
- 識別 xの値に対してyの値が２つあるようなグラフは、関数のグラフではない。
- 識別 グラフが連続か不連続かは、基本的に問題ではない。
- 例 ［１次関数のグラフ］。
- 例 ［y＝b[定数]のグラフ～x軸と平行で(0,b)を通る直線。］
- 発問 関数y＝[値]のグラフをかけ。
- 発問 関数y＝[文字式]のグラフをかけ。
- 発問 次のグラフは、関数のグラフと言えるか？
- 不適切次元 [未習の２次関数や三角関数などの例も挙げる]
- 不適切次元 [不連続な関数の例も挙げる]
- 不適切次元 [円やx＝y^2など、関数ではなく、軌跡の例も挙げる]
- １次関数のグラフ
- タイトル １次関数のグラフ[は]
- 特徴 １次関数y＝ax+bのグラフは、傾きがa、切片がbの直線である。
- 特徴 y＝ax+bのグラフは、形状が直線、aは傾き、bはy軸との交点のy座標。
- 概要 １次関数y＝ax+bのaとbのこと（を）
- 名称 「傾き、切片」と呼ぶ。
- 概要 傾きは、xが1増えた時に、yがいくつ増えるかを表す。
- 概要 切片は、y軸との交点のy座標でもあり、f(0)の値でもある。
- 識別 形状が直線でなければ１次関数ではない。
- 識別 x軸と平行なグラフは１次関数ではなく、y軸と平行なグラフは関数でない。
- 手続き １次関数のグラフの書き方として以下を示す。
- 手続き (0,b)と(1,a+b)または(-b/a,0)の２点を通る直線を引く。
- 手続き:特殊 定義域が与えられていたら、対応するグラフの範囲を明示する。
- 手続き:特殊 定義域の不等号に等号が含まれているか否かを○か●で示す。
- 発問 １次関数y＝ax+bのグラフをかけ。
- 不適切次元 ［aもbも正の整数またはb＝0の場合］
- 不適切次元 ［aやbに負の整数を含む場合も出題する］
- 不適切次元 ［aやbに整数以外の値を含む場合も出題する］
- 関数の最大値・最小値[の定義]
- タイトル 関数の最大値・最小値
- 根拠 関数の最大（小）値やその時のxの値は、最適化問題の関心事である。
- 根拠 関数には常に最大値、最小値があるとは限らない。
- 概要 関数y＝f(x)の値域の最大（小）値のこと（を）
- 名称 「関数の最大（小）値」と呼ぶ。
- 概要 最大（小）値が定まらないこと（を）
- 名称 「最大（小）値は無い」と言う。
- 識別 最大（小）値が∞（－∞）または不等式「＜」の場合、最大（小）値は無い。
- 特徴 同じ関数でも、定義域の与えられ方で、最大値・最小値の有無は変わる。
- 手続き 最大値・最小値を求めるには、まず、関数の値域を求める。
- 手続き 関数の値域の下限がa≦yなら最小値はa、上限がy≦bなら最大値はb。
- 手続き それ以外の場合は、最小値または最大値は無い。
- 手続き 一般に、関数が最小値・最大値を持つ時のxの値も示す。
- 発問 関数y＝ax+b (定義域) の最大値と最小値を求めよ。
- 不適切次元 ［最高次の係数が正の場合、負の場合の両方を出題する］
- 不適切次元 ［両端の値の少なくとも一方が負の値である場合も出題する］
- 不適切次元 ［最大値または最小値の一方が定まらない場合も出題する］
- ヒント 定義域に対応するグラフの範囲はどこですか？
- ヒント 最大値／最小値になる点をグラフ上で指示しなさい。
- ヒント その点のxの値を関数に代入して、最大／最小値を求めなさい。
- 関数の増加と減少
- タイトル 関数の増加と減少)
- 根拠 関数を使って最適化や予測をする時、増減の傾向を見ることが大事である。
- 根拠 常に増加・減少とは限らず、範囲によって増加や減少に転ずることもある。
- 概要 関数のグラフがある範囲で、右上（下）がりである（時）
- 名称 「増加（減少）する」と言う。
- 概要 増加とは、ある範囲の任意のp＜qに対して、f(p)＜f(q)ということ。
- 概要 減少とは、ある範囲の任意のp＜qに対して、f(p)＞f(q)ということ。
- 概要 増加・減少の範囲では、グラフとx軸と平行な直線とは１点のみで交わる。
- 例 増加と減少の両方を含む例を示す（２次関数、y＝1/x、絶対値関数など）。
- 例 単調増加・減少の例を示す（１次関数など）。
- 例 １次関数は、１次の係数が正なら常に増加、負なら常に減少。
- 例 ２次関数は、軸の左右で単調増加と単調減少が入れ替わる。
- 図表 １次関数の増加・減少の説明
- 図表 ２次関数の増加・減少の説明
- 発問 次の関数の増加、減少を調べよ。)
- 不適切次元 ［関数の式と定義域とを明示的に与える］
- 不適切次元 ［文章題から関数と定義域とを求める場合も出題する］
- 不適切次元 ［増加と減少とを両方含む場合も出題する］
- ヒント 題意に即して、まずxとyの関係を式で表し、定義域を求めましょう。
- ヒント まず関数のグラフを描きましょう。
- ヒント f([値1])と、f([値2])とで、どちらが大きいですか？
- グラフの平行移動
- タイトル 関数のグラフの平行移動
- 根拠 関数のグラフを平行移動したものは、別の関数のグラフである。
- 概要 ある図形を一定の方向に一定の距離だけ動かす移動のこと（を）
- 名称 「平行移動」という。
- 例 ２次関数の平行移動の例。
- 例 １次関数の平行移動の例。
- 表記法 「[x|y]軸方向に[p|q]だけ平行移動する」と表す。
- 表記法 「[x|y]軸の正|負の向きに[p|q]だけ平行移動する」と表す。
- 概要 g(x)がf(x)をx軸・y軸方向にp、q平行移動したものなら、
- 概要 f(x)はg(x)をx軸・y軸方向に-p、-q平行移動したもの。
- 概要 正の向きに-1平行移動は、負の向きに+1平行移動と同じ。
- 式 関数y＝f(x)をx軸方向にp、y軸方向にq平行移動した時、(y-q)＝f(x-p)。
- 式 関数y＝f(x)をx軸方向にp、y軸方向にq平行移動した時、y＝f(x-p)+q。
- 発問 関数g(x)は関数f(x)をどのように平行移動したものか？
- 発問 関数f(x)をx軸・y軸方向にp、q平行移動したものはどれか？
- 不適切次元 ［pやqが負の数の時も扱う］
- 不適切次元 ［pやqが整数以外の時も扱う］
- 不適切次元 ［１次関数、２次関数など、異なるタイプの関数を扱う］
- ヒント x軸方向への移動とは、上下、左右のどちら方向の移動ですか？
- ヒント y軸方向への移動とは、上下、左右のどちら方向の移動ですか？
- ヒント p,qの正負の符号はそれで正しいですか？
- ヒント y＝f(x)が通る点を平行移動して、移動後の関数に代入してみましょう。
- 誤り 関数y＝f(x)をx,y軸方向にp,q平行移動した時、(y+q)＝f(x+p)。
- 誤り 関数y＝f(x)をx,y軸方向にp,q平行移動した時、y-q＝f(x)-p。
- 誤り 関数y＝f(x)をx,y軸方向にp,q平行移動した時、y＝f(x-p)-q。
- 座標平面上の点の平行移動
- タイトル 座標平面上の点の平行移動
- 式 点(a,b)をx軸方向にp、y軸方向にq平行移動した点は(a+p,b+q)。
- 式 x軸方向にp、y軸方向にq平行移動して点(c,d)になる点は(c-p,d-q)。
- 式 点(a,b)を点(c,d)に平行移動するには、x軸方向にc-a、y軸方向にd-b。
- 概要 点をx軸方向にp、y軸方向にq平行移動すると、座標がp,qだけ大きくなる。
- 図表 点(a,b)と点(a+p,b+q)、点(c,d)と点(c-q,d-q)の図。
- 例 ある点をx軸方向にp、y軸方向にq平行移動した点の例。
- 例 平行移動した結果(c,d)になった点の元の座標を求める例。
- 例 ２つの点を示して、双方向に移動する仕方を求める例。
- 発問 次の点をx,y軸方向にp,q平行移動した点はどんな点か。
- 発問 x,y軸方向にp,q平行移動して次の点に移る点とはどのような点か。
- 発問 次の点Ｐを点Ｑに移動するには、どのように平行移動すればいいか。
- 不適切次元 ［与える点の座標も、移動の仕方p,qも、全て正の整数］
- 不適切次元 ［移動の仕方は、正負の場合の両方を扱う］
- 不適切次元 ［与える点の座標は、正負の場合の両方を扱う］
- 不適切次元 ［ＰからＱだけでなく、ＱからＰも問う］
- ヒント 点(a,b)はどこですか？
- ヒント それをx軸方向にp移動した点はどこですか？ その点のx座標は？
- ヒント それをy軸方向にq移動した点はどこですか？ その点のy座標は？
- ヒント p(q)を足しますか？ 引きますか？
- 直線を平行移動したグラフの方程式
- タイトル 直線y＝ax+bをx,y軸方向にp,qだけ平行移動したグラフの方程式)
- 例 直線y＝ax＋bをx軸方向にp、y軸方向にq平行移動したとする。)
- 例 移動先の点P(x,y)は、Q(x-p,y-q)を移動したものである。
- 例 Qは、直線y＝ax＋b上の点であるから、(y－q)＝a(x－p)＋b。)
- 例 これを整理すると、y＝ax＋(b＋q－ap)。)
- 例 直線y＝ax＋bをx軸方向にp平行移動すると、y＝ax＋(b－ap)。)
- 例 直線y＝ax＋bをy軸方向にq平行移動すると、y＝ax＋(b＋q)。)
- 式 関数y＝f(x)をx軸方向にp、y軸方向にq平行移動した時、(y-q)＝f(x-p)。)
- 概要 直線y＝ax＋bを平行移動すると、結果的にはy切片が変わるだけである。)
- 図表 y＝ax＋bをx軸方向にp、y軸方向にq平行移動したグラフ
- 手続き y＝ax＋bをx,y軸方向にp,q平行移動した式は、(y－q)＝a(x－p)＋bを整理。)
- 手続き 直線の平行移動は、(0,b)の移動先をy＝ax＋kに代入し、kを求めてもよい。)
- 発問 直線y＝ax＋bをx,y軸方向にp,q平行移動した直線を求めよ。)
- 発問 x,y軸方向にp,q平行移動したらy＝ax＋bになる直線を求めよ。)
- 発問 y＝ax＋bをx,y軸方向にp[文字],q平行移動した式が自分自身になった。pの値は？)
- ヒント 元の直線上の点を平行移動した点を求め、移動後の式を満たすか確認する。)
- ヒント 平行移動した直線は、移動前と傾きは同じですか？ 変わりますか？)
- ヒント どちらが移動前の直線で、どちらが移動後の直線かよく確認しましょう。)
- ２次関数［の定義］
- タイトル ２次関数
- 根拠 今まで習った関数に、yがxの２次式で表される関数は無い。
- 概要 yがxの２次式で表される関数である（時）
- 名称 「yはxのｎ次関数」という。
- 概要 yがxの２次式で表される関数である（時）
- 名称 「yはxのｎ次関数」という。
- 式 y＝ax^2+bx+c ただし、a≠0（aは0でない）
- 式 ２次関数y＝ax^2+bx+c （a＝0だと２次関数ではないからa≠0と解釈する）
- 例 ２次の項だけの２次関数の例を示す。
- 例 ２次の項と１次の項だけの２次関数の例を示す。
- 例 ２次の項と定数項だけの２次関数の例を示す。
- 例 ２次から０次までの全ての項を持つ２次関数の例を示す。
- 例:反例 既習の関数で２次関数でない例を提示する。
- 例:反例 分母が２次式の分数関数、式変形すると１次関数になるもの
- 事象 正方形の面積yは１辺の長さxの２次関数である。ただし、x＞0。
- 事象 縦x[cm]、横が縦よりa[cm]短い長方形の面積をy[cm^2]とする。
- 事象 周長a[cm]の長方形で、縦x[cm]と面積y[cm^2]の関係。ただし、縦＞横。
- 事象 縦は横より長いので、周を４等分した長さより長い。
- 事象 長さaの線分をx：(a-x)に分け、各々を１辺とする正方形の面積の和をyとする。
- 手続き yを求めるのに使える公式を思い出す。
- 手続き 公式に代入する値をxを使って式に表す。
- 手続き この時、公式に代入する値の条件を考え、xの定義域を考える。
- 手続き 代入した式を整理して、y＝f(x)の形に整理する。
- 発問 次の２次関数を求めよ。（また、その定義域を言え。）
- 不適切次元 ［図形の長さと面積との関係を定式化するもの］
- 発問 次の事象を関数［yをxで］表し、２次関数であるものを選べ。
- 発問 (1) 直径が(x+1)[cm]の円の面積をy[cm^2]とする。
- 発問 (2)１辺x[cm]の正方形から、１辺(x-2)[cm]の正方形を切り取った残りの面積y[cm^2]。
- 発問 (3)面積10[cm^2]の三角形で、底辺の長さx[cm]と高さy[cm]の関係。
- ヒント この事象を数式化する上で必要な公式は何ですか？
- ヒント 問題文のどの値をどう変形して公式に代入する必要がありますか？
- ヒント 題意から定義域を導く式を立てて下さい。長さや面積は負になりません。
- 下に凸，上に凸
- タイトル 下に凸，上に凸)
- 概要 y＝ax^2のグラフが、a＞0（a＜0）である時")
- 名称 「下（上）に凸」という。")
- 図表 下に凸
- 図表 上に凸
- 例 y＝[正の数値]x^2は下に凸である。)
- 例 y＝[負の数値]x^2は上に凸である。)
- 発問 次の２次関数は、上に凸、下に凸のどちらか。)
- 不適切次元 ［２次の係数が正の場合と負の場合の両方を出題する］)
- 不適切次元 ［２次の係数が分数の場合についても出題する］)
- 不適切次元 ［１次の項や定数項がある場合も出題する］)
- 不適切次元 ［式を示さず、グラフだけを示す場合も出題する］)
- 放物線[の定義]
- タイトル 放物線)
- 根拠 物を投げた時の軌跡は２次関数の曲線になっている。
- 概要 ２次関数y＝ax^2の表す曲線のこと（を）
- 名称 「放物線」と呼ぶ。
- 表記法 ２次関数y＝ax^2+bx+cのグラフを放物線y＝ax^2+bx+cということがある。
- 特徴 放物線は、対称軸と頂点を持つ。
- 特徴 a＞0のときは下に凸、a＜0のときは上に凸である。
- 特徴 放物線の値域は、「全ての実数」にはならない。
- 特徴 aの絶対値が大きい程、傘が閉じたようになり、小さい程、開いたようになる。
- 例 最も典型的な例として、y＝ax^2を提示する。
- 例 y＝ax^2を平行移動したグラフも放物線であることを説明する。
- 発問 y＝[数値1]x^2＋[数値2]のグラフは放物線ですか？
- 放物線の軸[の定義]
- タイトル 放物線の軸)
- 根拠 放物線は（左右）線対称である。
- 概要 放物線の対称軸のこと（を）
- 名称 単に「軸」と呼ぶ。
- 特徴 放物線の軸は、y軸と平行である。
- 式 放物線の軸は、y＝p［定数］と表せる。
- 例 ２次関数y＝ax^2の軸は、y軸である。
- 例 ２次関数y＝ax^2＋bの軸は、y軸である。
- 発問:例 y＝[数値]x^2の軸の式はどうなりますか？
- 発問:例 y＝[数値1]x^2＋[数値2]の軸の式はどうなりますか？
- 発問:例 図に示した放物線の軸の式はどうなりますか？
- 発問 放物線の軸とは何ですか？
- 発問 放物線の軸はどのような特徴を持ちますか？
- 発問 放物線に軸はいくつありますか？
- 放物線の頂点[の定義]
- タイトル 放物線の頂点
- 根拠 放物線には、軸と交わる点が１つだけある。
- 概要 放物線の軸と放物線との交点のこと（を）
- 名称 「頂点」と呼ぶ。
- 特徴 頂点で、関数は増加から減少、または減少から増加に転ずる。
- 特徴 頂点で、関数の値は最小または最大になる可能性がある。
- 特徴 頂点で、放物線の接線は、x軸と平行になる。
- 特徴 放物線の頂点は、１つのみである。
- 例 ２次関数y＝ax^2の頂点は、原点(0,0)である。
- 例 ２次関数y＝ax^2＋bの頂点は、(0,b)である。
- 発問 y＝[数値]x^2の頂点はどこですか？
- 発問 y＝[数値1]x^2＋[数値2]の頂点はどこですか？
- 発問 放物線の頂点とはどのような点のことですか？
- 発問 放物線の頂点はどのような特徴を持ちますか？
- 発問 放物線に頂点はいくつありますか？
- y＝ax^2のグラフ[の特徴]
- タイトル ２次関数y＝ax^2のグラフ[は]
- 特徴 軸がy軸、頂点が原点の放物線である。
- 特徴 形状は放物線で、軸がy軸、頂点が原点に位置する。
- 識別 直線でもないし、双曲線でもない。
- 識別 原点を通らない、y軸に関して対称でないものは、y＝ax^2ではない。
- 場合分け a＞0なら下に凸、a＜0なら上に凸である。
- 例 半径x[㎝]の円の面積をy[cm^2]とすると、y=πx^2 (x＞0)
- 図表 半径x[㎝]の円の面積y[cm^2]の図
- 図表 y＝x^2のグラフ［点をプロットして示した図］
- 図表 グラフにプロットした点(x,y)の対応表
- 図表 a＞0の時の特徴を表す図［y軸で対称、x＜で減少、x＞0で増加］
- 図表 a＞0の時の特徴を表す図［原点、(1,a)、(x,ax^2)を通る］
- 図表 a＜0の時の特徴を表す図［y軸で対称、x＜で増加、x＞0で減少］
- 図表 a＜0の時の特徴を表す図［原点、(1,a)、(x,ax^2)を通る］
- 図表 正負を含め、aの値によって形状が変わる様子を示した図
- 手続き ２次関数y＝ax^2のグラフの描き方として、以下を説明する。
- 手続き 原点が頂点、y軸で左右対象、形状が放物線となるようにする。
- 手続き aの正負で、下に凸か上に凸かを考えて描く。
- 手続き (1,a)などの代表点をプロットする。
- 手続き 原点を頂点とし、(±1,a),(±2,4a), (±3,9a)を通るように描く。
- 手続き 定義域が与えられていたら、グラフの範囲を明示する。
- 手続き 不等号が≦である点は●で、不等号が＜である点は○で表す。
- 発問 ２次関数y＝ax^2のグラフはどのようなグラフですか？
- 発問 ２次関数y＝ax^2のグラフはaの値でどう変化しますか？
- 発問 "次のグラフは２次関数y＝ax^2のグラフですか？ ;(""1026"""
- 発問 ２次関数y＝ax^2のグラフをかけ。
- 不適切次元 ［係数が正の場合と負の場合を出題する］
- 不適切次元 ［係数が分数の場合についても出題する］
- 不適切次元 ［定義域を与えた場合についても出題する］
- 発問 なぜ頂点以外の点の座標を示すのでしょうか？
- 発問 頂点以外の点の座標は１つだけ示せばいいのでしょうか)
- y＝ax^2+qとy＝ax^2
- タイトル y＝ax^2+qのグラフとy＝ax^2のグラフとの関係)
- 関係 y＝ax^2をy軸の正の方向にq平行移動するとy＝ax^2+qのグラフになる。)
- 関係 y＝ax^2+qは、y＝ax^2をy軸の正の方向にq平行移動したグラフである。)
- 関係 y＝ax^2+qをy軸の負の方向にq平行移動すると、y＝ax^2になる。)
- 図表 y＝ax^2とy＝ax^2+qのグラフとの関係
- 図表 xの値{-3,-2,-1,0,1,2,3}に対して、f(x)とf(x)+qの値の表を作る。)
- 図表 xとy＝ax^2、y＝ax^2+qの値の関係表
- 特徴 同じxに対し、y＝2x^2＋4の値は、常にy＝2x^2の値に＋4したものである。)
- 特徴 q＞0ならy＝ax^2より上に移動し、q＜0なら下に移動になる。
- 例 y＝2x^2＋4のグラフは、y＝2x^2のグラフを)
- 例 y軸の正の方向に4だけ平行移動したものである。)
- 発問 y＝ax^2+qのグラフは、y＝ax^2のグラフをどのように平行移動したものですか？)
- 発問 y＝ax^2+qのグラフとy＝ax^2のグラフとの関係を説明しなさい。)
- 発問 y＝ax^2のグラフをy軸の[正／負]の方向に[数値]平行移動したグラフは？)
- 発問 このグラフの式を答えなさい。)
- 不適切次元 [qが正の場合と負の場合の両方について出題する])
- 不適切次元 [aが正の場合と負の場合の両方について出題する])
- 発問 負の方向に[数値]平行移動するとは、正の方向にいくら平行移動することか？)
- 誤り:適用 y＝ax^2+qではなく、y＝x^2+qとしてしまう。
- 誤り:適用 y＝ax^2+qではなく、y＝a(x+q)^2としてしまう。
- 誤り:適用 q平行移動ではなく、√q平行移動としてしまう。
- y＝ax^2+qのグラフ[の特徴]
- タイトル ２次関数y＝ax^2+qのグラフ[は])
- 特徴 軸がy軸、頂点が点(0,q)の放物線である。
- 特徴 形状は放物線で、軸がy軸、頂点が点(0,q)に位置する。)
- 特徴 頂点が点(0,q)に位置する放物線の式は、y＝ax^2+qである。
- 識別 点(0,q)を通らない、y軸に関して対称でないものは、y＝ax^2+qでない。)
- 特徴 a＞0のときは下に凸、a＜0のときは上に凸である。)
- 図表 y＝ax^2+qのグラフ
- 手続き ２次関数y＝ax^2＋qのグラフの描き方として、以下を説明する。)
- 手続き (0,q)が頂点、y軸で左右対象、形状が放物線となるようにする。)
- 手続き aの正負で、下に凸か上に凸かを考えて描く。)
- 手続き (1,a+q)などの代表点をプロットする。)
- 手続き (0,q)を頂点とし、(±1,a+q),(±2,4a+q), (±3,9a+q)を通るように描く。)
- 手続き:特殊 定義域が与えられていたら、グラフの範囲を明示する。)
- 手続き:特殊 不等号が≦である点は●で、不等号が＜である点は○で表す。)
- 発問 y＝ax^2+qの頂点を求めよ。)
- 発問 ２次関数y＝ax^2＋qのグラフをかけ。)
- 不適切次元 ［２次の係数が正の場合と負の場合を出題する］)
- 不適切次元 ［整数項が正の場合と負の場合を出題する］)
- 不適切次元 ［２次の係数が分数の場合についても出題する］)
- 不適切次元 ［整数項が分数の場合についても出題する］)
- 不適切次元 ［定義域を与えた場合についても出題する］)
- 誤り 頂点以外のもう１点を示さない。
- 誤り 頂点を(q,0)、(0,-q)、(0,√q)などとしてしまう。
- 誤り x軸との交点が必ずあると誤解している。
- y＝a(x-p)^2とy＝ax^2
- タイトル y＝a(x-p)^2のグラフとy＝ax^2のグラフとの関係
- 関係 y＝ax^2をx軸の正の方向にp平行移動するとy＝a(x-p)^2のグラフになる。
- 関係 y＝a(x-p)^2は、y＝ax^2をx軸の正の方向にp平行移動したグラフである。
- 関係 y＝a(x-p)^2をx軸の負の方向にp平行移動すると、y＝ax^2になる。
- 図表 y＝ax^2とy＝a(x-p)^2のグラフとの関係
- 図表 xの値{-2,-1,0,1,2,3,4,5}に対して、f(x)とf(x-p)の値の表を作る。
- 図表 xとy＝ax^2、y＝a(x-p)^2の値の関係表
- 特徴 y＝ax^2がx＝kの時にとる値は、y＝a(x-p)^2がk+pの時にとる値と等しい。
- 特徴 同じyの値をとるxは、y＝a(x-p)^2では、y＝ax^2より右にpずれている。
- 特徴 p＞0ならy＝ax^2より右に移動し、p＜0なら左に移動になる。
- 例 y＝a(x-p)^2の例として、整数の範囲でpやaの符号を変えた例を示す。
- 例 y＝a(x-p)^2の例として、aを固定し、pを変化させた例を示す。
- 発問 次の y＝a(x-p)^2 のグラフは、y＝ax^2をどのように平行移動したものか？
- 発問 次の２つのグラフ［y＝a(x-p)^2ともう１つ］の関係を説明しなさい。
- 発問 y＝ax^2をx軸方向にp平行移動したグラフの式を求めよ。
- 不適切次元 ［aが正の場合と負の場合の両方について出題する］
- 不適切次元 ［pが正の場合と負の場合の両方について出題する］
- 不適切次元 ［両方ともy＝a(x-p)^2のグラフの場合を出題する］
- 誤り y＝a(x-p)^2ではなく、y＝(x-p)^2としてしまう。
- 誤り y＝a(x-p)^2ではなく、y＝a(x+p)^2としてしまう。
- 誤り y＝a(x-p)^2ではなく、y＝ax^2-pや(ax-p)^2としてしまう。
- 誤り p平行移動ではなく、-p平行移動としてしまう。
- y＝a(x-p)^2のグラフ[の特徴]
- タイトル ２次関数y＝a(x-p)^2のグラフ[は]
- 特徴 軸がx＝p、頂点が点(p,0)の放物線である。
- 特徴 形状は放物線で、軸がx＝p、頂点が点(p,0)に位置する。
- 特徴 頂点が点(p,0)に位置する放物線の式は、y＝a(x-p)^2である。
- 識別 点(p,0)を通らないかx＝pに関して非対称ならy＝a(x-p)^2でない。
- 識別 a＞0のときは下に凸、a＜0のときは上に凸である。
- 特徴 a＞0のときは下に凸、a＜0のときは上に凸である。
- 図表 y＝a(x-p)^2のグラフ
- 手続き ２次関数y＝a(x-p)^2のグラフの描き方として、以下を説明する。
- 手続き (p,0)が頂点、x＝pで左右対象、形状が放物線となるようにする。
- 手続き aの正負で、下に凸か上に凸かを考えて描く。
- 手続き (0,ap^2)などの代表点をプロットする。
- 手続き (p,0)を頂点とし、(p±1,a),(p±2,4a), (p±3,9a)を通るように描く。
- 手続き 定義域が与えられていたら、グラフの範囲を明示する。
- 手続き 不等号が≦である点は●で、不等号が＜である点は○で表す。
- 発問 y＝a(x-p)^2の軸と頂点を求めよ。
- 発問 y＝a(x-p)^2のグラフをかけ。
- 不適切次元 ［aが正の場合と負の場合を出題する］
- 不適切次元 ［(x-p)の場合と(x+p)の場合を出題する］
- 不適切次元 ［aやpが整数以外の場合についても出題する］
- 不適切次元 ［定義域を与えた場合についても出題する］
- 誤り 頂点、軸を(-p,0)、x＝-pとしてしまう。
- 誤り 頂点以外のもう１点を示さない。
- y＝a(x-p)^2+qとy＝ax^2
- タイトル y＝a(x-p)^2+qのグラフとy＝ax^2のグラフとの関係)
- 根拠 y＝ax^2のxにx-pを代入し、yにy-qを代入したのがy＝a(x-p)^2+q。
- 根拠 y-q＝f(x-p)のグラフは、y＝f(x)をx,y軸方向にp,q平行移動したグラフ。
- 関係 y＝ax^2をx,y軸方向にp,q平行移動するとy＝a(x-p)^2＋qのグラフになる。
- 関係 y＝a(x-p)^2＋qは、y＝ax^2をx,y軸方向にp,q平行移動したグラフである。
- 関係 y＝a(x-p)^2＋qをx,y軸の負の方向にp,q平行移動すると、y＝ax^2になる。
- 関係 y＝ax^2を頂点が(p,q)になるように平行移動すると、y＝a(x-p)^2+qになる。
- 図表 y=ax^2とy＝a(x-p)^2+qのグラフとの関係
- 図表 y＝ax^2とそれをx、y軸方向にp、q平行移動したグラフ上の点QとP
- 図表 y＝ax^2とy＝a(x-p)^2+qのグラフの対応する点の座標の関係
- 図表 y＝ax^2とy＝a(x-p)^2、y＝a(x-p)^2+qのグラフの関係
- 図表 xの値{-2,-1,0,1,2,3,4,5}に対して、f(x)とf(x-p)+qの値の表を作る。
- 図表 xとy＝ax^2、y＝a(x-p)^2、y＝a(x-p)^2+qの値の関係
- 特徴 y＝ax^2がx＝kの時にとる値は、y＝a(x-p)^2がk+pの時にとる値+qと等しい。
- 特徴 同じyの値をとるxは、y＝a(x-p)^2では、y＝ax^2より右にpずれている。
- 特徴 p＞0ならy＝ax^2より右に移動し、p＜0なら左に移動になる。
- 特徴 q＞0ならy＝ax^2より上に移動し、q＜0なら下に移動になる。
- 例 y＝a(x-p)^2の例として、整数の範囲でpやaの符号を変えた例を示す。
- 例 y＝a(x-p)^2の例として、aを固定し、pを変化させた例を示す。
- 発問 次の y＝a(x-p)^2＋q のグラフは、y＝ax^2をどのように平行移動したものか？
- 発問 次の２つのグラフ［y＝a(x-p)^2＋qともう１つ］の関係を説明しなさい。
- 発問 y＝ax^2を(p,q)が頂点になるように平行移動したグラフの式を求めよ。
- 発問 y＝ax^2をx,y軸方向にp、q平行移動したグラフの式を求めよ。
- 図表 y＝ax^2をx,y軸方向にp、q平行移動したグラフ（回答）
- 不適切次元 ［aが正の場合と負の場合の両方を出題する］
- 不適切次元 ［pやqが正の場合と負の場合の両方を出題する］
- 不適切次元 ［pやqが整数以外の場合も出題する］
- 誤り y＝a(x-p)^2+qは、y＝ax^2をx,y軸方向に-p,q平行移動したもの。
- 誤り 平行移動したグラフを、y＝a(x+p)^2+q、y＝a(x-p)^2-qなどとする。
- 誤り 平行移動したグラフを、y＝(ax-p)^2+q、y＝ax^2-px+qなどとする。
- 誤り (p,q)が頂点になるように平行移動をx,y軸方向にp,q平行移動と理解できない。
- y＝a(x-p)^2+qのグラフ[の特徴]
- タイトル ２次関数y＝a(x-p)^2+qのグラフ[は])
- 根拠 y＝ax^2をx,y軸方向にp,q平行移動できれば、任意の位置に放物線を描ける。
- 特徴 軸がx＝p、頂点が点(p,q)の放物線である。
- 特徴 形状は放物線で、軸がx＝p、頂点が点(p,q)に位置する。
- 特徴 頂点が点(p,q)に位置する放物線の式は、y＝a(x-p)^2+qである。
- 識別 点(p,q)を通らない、x＝pに関して対称でないものは、y＝a(x-p)^2+qでない。)
- 場合分け a＞0のときは下に凸、a＜0のときは上に凸である。)
- 識別 (x＋p)ではなく、(x－p)であることに注意して下さい。)
- 手続き ２次関数y＝a(x-p)^2+qのグラフの描き方として、以下を説明する。)
- 手続き (p,q)が頂点、x＝pで左右対象、形状が放物線となるようにする。)
- 手続き aの正負で、下に凸か上に凸かを考えて描く。)
- 手続き (0,ap^2+q)などの代表点をプロットする。)
- 手続き (p,q)を頂点とし、(p±1,a+q),(p±2,4a+q), (p±3,9a+q)を通るように描く。)
- 手続き 定義域が与えられていたら、グラフの範囲を明示する。)
- 手続き 不等号が≦である点は●で、不等号が＜である点は○で表す。)
- 図表 y＝a(x-p)^2+q（a>0）のグラフ
- 図表 y＝a(x-p)^2+q（a<0）のグラフ
- 発問 次のグラフ［y＝a(x－p)^2＋q］の軸と頂点を求めよ。)
- 発問 次の関数y＝a(x－p)^2＋qのグラフをかけ。)
- 不適切次元 ［aが正の場合と負の場合の両方を出題する］)
- 不適切次元 ［pやqが正の場合と負の場合の両方を出題する］)
- 不適切次元 ［aが整数以外の場合も出題する］)
- 不適切次元 ［pやqが整数以外の場合も出題する］)
- 不適切次元 ［定義域を与えた場合についても出題する］)
- 誤り y＝a(x-p)^2+qは、軸がx＝-p、頂点が(-p,q)の放物線。
- 誤り 頂点以外のもう１点を示さない。
- 平方完成
- タイトル [ax^2+bx+cの]平方完成)
- 根拠 a(x＋p)^2＋qはax^2＋bx＋cの形に必ず展開できる。逆も可能。)
- 概要 ax^2＋bx＋cをa(x＋p)^2＋qに変形する計算のこと（を
- 概要 ２次の整式をa(x＋p)^2＋qに変形する計算のこと（を
- 名称 「平方完成」という。)
- 手続き 平方完成の手続きについて、以下のポイントを説明する。)
- 手続き xを含む項と定数項に分け、前者はaで括ってa{x^2＋(b/a)x}＋cとする。)
- 手続き (x＋p)^2は(x^2＋2px＋p^2)と展開できるので、2pを(b/a)に対応づける。)
- 手続き p^2分を足し引きして、a{x+(b/2a)}^2-(b^2-4ac)/4aと変形する。)
- 例 平方完成の例として、a＝1または-1の例を示す。)
- 例 平方完成の例として、aとbの符号が異なる例を示す。)
- 例 平方完成の例として、aが1,-1以外だが、(b/2a)は整数になる例を示す。)
- 例 平方完成の例として、aが1,-1以外で(b/2a)が分数になる例を示す。)
- 概要 y＝ax^2+bx+cの右辺は、ax(x+b/a)+cと変形でき、(0,c)と(-b/a,c)を通る。)
- 概要 この２点はyの値が同じなので、この２点の中間x＝-(b/2a)が対称軸になる。)
- 概要 x＝-(b/2a)を代入して頂点のy座標を求めれば、a{x＋(b/2a)}^2＋qのqが求まる。)
- 識別 平方完成した式にx＝0を代入した値がcにならなければ間違っている。)
- 発問 ax^2＋bx＋cをa(x-p)^2+qの形に変形せよ。)
- 不適切次元 ［２次の係数が1や-1以外の場合も扱う］)
- 不適切次元 ［２次の係数が正の場合と負の場合を扱う］)
- 不適切次元 ［２次の係数が分数の場合も扱う］)
- 不適切次元 ［平方完成した時、(b/2a)が分数になる場合も扱う］)
- 不適切次元 ［初期状態で定数項が0の場合も扱う］)
- 誤り a(x^2+bx)でくくるのを(ax^2+bx)としてしまう。
- 誤り (x^2+px)＝(x+p)^2-p^2としてしまう。
- 誤り (x^2+px)＝(x+p/2)^2や(x+p/2)^2+(p^2)/4としてしまう。
- 誤り (x^2+px)＝(x-p/2)^2-(p^2)/4としてしまう。
- 誤り (x^2+px)＝{(x+p)/2}^2-(p^2)/4としてしまう。
- y＝ax^2+bx+cとy＝ax^2
- タイトル y＝ax^2+bx+cのグラフとy＝ax^2のグラフとの関係)
- 根拠 y＝ax^2+bx+cはy＝a(x－p)^2＋qの形に平方完成できる。)
- 式 y＝a{x+(b/2a)}^2－(b^2-4ac)/4aとなる。)
- 関係 y＝ax^2＋bx＋cのグラフは、y＝a{x－(-b/2a)}^2＋{-(b^2－4ac)/4a}と同じ。)
- 関係 y＝ax^2をx,y軸方向に-b/2a,-(b^2-4ac)/4a平行移動するとy＝ax^2＋bx＋cになる。)
- 識別 x軸方向の移動は、-b/2aであり、b/2aではない。)
- 例 y＝ax^2+bx+cの例として、a＝±1、bが偶数の例を示す。)
- 例 y＝ax^2+bx+cの例として、aとbの符号が異なる例を示す。)
- 例 y＝ax^2+bx+cの例として、(b/2a)が分数になる例を示す。)
- 図表 y＝2x^2＋4x－1のグラフ
- 発問 次のグラフ［y＝ax^2＋bx＋c］はy＝ax^2をどう平行移動したものか。)
- 不適切次元 ［２次の係数が1や-1以外の場合も扱う］)
- 不適切次元 ［２次の係数が正の場合と負の場合を扱う］)
- 不適切次元 ［２次の係数が分数の場合も扱う］)
- 不適切次元 ［平方完成した時、１次の係数が分数になる場合も扱う］)
- 不適切次元 ［初期状態で定数項が0の場合も扱う］)
- 発問 y＝ax^2をx,y軸方向にp,q平行移動した式をy＝ax^2+bx+cの形で示せ。)
- 発問 y＝ax^2をx軸方向にp平行移動するには、xに何を代入すればいいですか？)
- 発問 y＝a(x－p)^2をy軸方向にq平行移動すると、どんな式になりますか？)
- 発問 右辺を展開するとどうなりますか？)
- 不適切次元 ［qが正の場合と負の場合を扱う］)
- 不適切次元 ［p,qが分数の場合も扱う］)
- 発問 この式の右辺を平方完成するとどうなりますか？)
- y＝ax^2+bx+cとy＝a(x-p)^2+q
- タイトル y＝ax^2+bx+cのグラフとy＝a(x-p)^2+qのグラフとの関係
- 根拠 y＝ax^2＋bx＋cはy＝a(x－p)^2＋qの形に平方完成できる。
- 式 y＝a{x+(b/2a)}^2－(b^2-4ac)/4aとなる。
- 式 y＝a(x-p)^2+qは、y＝ax^2-2pax+(q+ap^2)となる
- 関係 y＝ax^2＋bx＋cのグラフは、y＝a{x－(-b/2a)}^2＋{-(b^2－4ac)/4a}と同じ。
- 関係 p＝-b/2a、q＝-(b^2-4ac)/4aという関係である。
- 識別 p＝-b/2aであり、b/2aではない。
- 発問 y＝ax^2＋bx＋cをどう平行移動するとy＝a(x－p)^2＋qになるか？
- 発問 y＝ax^2をx,y軸方向にp,q平行移動した式をy＝ax^2+bx+cの形で示せ。
- 発問 次のグラフの関係を説明せよ［y＝ax^2＋bx＋cとy＝a(x－p)^2＋q］。
- 不適切次元 ［２次の係数が正の場合と負の場合を扱う］
- 不適切次元 ［２次の係数が1や-1以外の場合も扱う］
- 不適切次元 ［２次の係数が分数の場合も扱う］
- 不適切次元 ［平方完成した時、１次の係数が分数になる場合も扱う］
- 不適切次元 ［移動の方向が正方向だけでなく、負方向の場合も扱う］
- 不適切次元 ［２つのグラフの頂点が異なる象限にある場合も扱う］
- y＝ax^2+bx+cのグラフ[の特徴]
- タイトル ２次関数y＝ax^2+bx+cのグラフ[は]
- 特徴 軸がx＝-b/2a、頂点が点(-b/2a, -(b^2-4ac)/4a)の放物線である。
- 特徴 形状は放物線で、軸がx＝-b/2a、頂点が点(-b/2a, -(b^2-4ac)/4a)に位置する。
- 識別 点(-b/2a, -(b^2-4ac)/4a)を通らないものはy＝ax^2+bx+cでない。
- 識別 x＝-b/2aに関して非対称なものは、y＝ax^2+bx+cでない。
- 場合分け a＞0のときは下に凸、a＜0のときは上に凸である。
- 識別 x＝b/2aではなく、x＝-b/2aであることに注意して下さい。
- 手続き ２次関数y＝ax^2+bx+cのグラフの描き方として、以下を説明する。
- 手続き y＝ax^2+bx+cを平方完成し、y＝a(x-p)^2+qの形に変形する。
- 手続き p＝-b/2a、q＝-(b^2-4ac)/4aと対応づける。
- 手続き (p,q)が頂点、x＝pで左右対象、形状が放物線となるようにする。
- 手続き aの正負で、下に凸か上に凸かを考えて描く。
- 手続き (0,c)などの代表点をプロットする。
- 手続き 定義域が与えられていたら、グラフの範囲を明示する。
- 手続き 不等号が≦である点は●で、不等号が＜である点は○で表す。
- 発問 y＝ax^2＋bx＋cのグラフをかけ。
- 発問 y＝ax^2＋bx＋cのグラフの軸と頂点を求めよ。
- 不適切次元 ［２次の係数が1や-1以外の場合も扱う］
- 不適切次元 ［２次の係数が正の場合と負の場合を扱う］
- 不適切次元 ［平方完成した時、１次の係数が分数になる場合も扱う］
- 不適切次元 ［定義域を与えた場合についても出題する］
- 不適切次元 ［予式を自分でy＝ax^2＋bx＋cの形に変形する課題も扱う］
- 発問 頂点と軸を求めるために何を使って式変形しますか？
- 発問 グラフをかく時に、何か忘れていませんか？
- y＝ax^2+bx+cとy＝ax^2+b’x+c’
- タイトル y＝ax^2+bx+cとy＝ax^2+rx+sとの関係
- 根拠 どちらもy＝ax^2を平行移動したグラフなので、平行移動により両者は重なる。
- 根拠 ２つの頂点が重なるように平行移動すれば、グラフ全体が重なる。
- 手続き y＝ax^2+bx+cの頂点はA(-b/2a, -(b^2-4ac)/4a)［(Ax,Ay)とする］
- 手続き y＝ax^2+rx+sの頂点はB(-r/2a, -(r^2-4as)/4a)［(Bx,By)とする］
- 手続き y＝ax^2+bx+cをx,y軸方向にBx-Ax、By-Ay平行移動するとy＝ax^2+rx+sに。
- 発問 放物線y＝ax^2+bx+cをどう平行移動するとy＝ax^2+rx+sになるか。
- 不適切次元 ［２次の係数が1や-1以外の場合も扱う］
- 不適切次元 ［２次の係数が正の場合と負の場合を扱う］
- 不適切次元 ［頂点の座標が分数になる場合も扱う］
- 不適切次元 ［移動の方向が正方向だけでなく、負方向の場合も扱う］
- 不適切次元 ［２つのグラフの頂点が異なる象限にある場合も扱う］
- 発問 の頂点はどうなりますか？
- 発問 頂点を求めるために、何を使って式変形しますか？
- 発問 頂点に着目すると、どのような平行移動になりますか？
- 発問 [上/下/左/右]方向の平行移動は、プラスですかマイナスですか？
- 頂点・軸・通る点から２次関数を決定
- タイトル 頂点・軸の方程式・通る点が与えられた２次関数の決定
- 根拠 ２次関数はy＝a(x-p)^2＋qまたはy＝ax^2＋bx＋cの形でかける。
- 根拠 頂点が与えられれば、p,qが決まり、もう１点与えられればaも決まる。
- 根拠 軸が与えられればpが決まり、y座標が異なる２点が与えられればaとqも決まる。
- 根拠 aが与えられていれば、頂点か、軸ともう１点で２次関数は決定する。
- 手続き 頂点と点Ｐが与えられたら、y＝a(x-p)^2+qにＰの座標を代入して、aを求める。
- 手続き 軸と２点の場合、y＝a(x-p)^2+bに２点の座標を代入して、a,bの連立方程式を解く。
- 手続き 最後に括弧内を展開して、y＝ax^2+bx+cの形に変形すること。
- 識別 軸が与えられた時、軸と対称な点は計算で求められるので、非対称な２点が必要。
- 発問 (p,q)を頂点とし、点(n,m)を通る２次関数を求めよ。
- 図表 頂点が(1, -3)で、点(-1, 5)を通る
- 図表 軸が直線x=-2で、2点(-3, 2)(0, -1)を通る
- 発問 x＝pを軸とし、点(n,m)、(s,t)を通る２次関数を求めよ。
- 発問 y＝ax^2を軸がx＝pで点(n,m)を通るよう平行移動した時の式を求めよ。
- 不適切次元 ［pやqが負の数の時も扱う］
- 不適切次元 ［pやqが分数の時も扱う］
- 不適切次元 ［求める関数の２次の係数が負になる場合も扱う］
- ヒント 頂点の座標から、求める関数はどのような式で書けますか？
- ヒント 軸の式から、求める関数はどのような式で書けますか？
- ヒント 求める式をy＝a(x-p)^2+qとしますか？ y＝ax^2+bx+cとしますか？
- ヒント 与えられた条件から、グラフの概型を座標平面上に描いてみましょう？
- ヒント 頂点ともう１点との関係から、上下どちらに凸と予想しますか？
- 誤り 頂点(p,q)からy＝a(x-p)^2+qを思い出せない。)
- 誤り 頂点(p,q)からy＝a(x+p)^2+qやy＝a(x-p)^2-qという式を立てしまう。
- 誤り 頂点(p,q)からy＝a(x-p)^2+cという式を立ててしまい、qを活用できない。
- 誤り 軸の式x＝kからy＝a(x-k)^2+qを思い出せない。
- 誤り 軸の式x＝kからy＝a(x+k)^2+qやy＝a(x+k)^2-qという式を立ててしまう。
- 誤り 通る点(s,t)からy＝a(x-s)^2+tという式を立ててしまう。
- 誤り 頂点(p,q)や軸x＝kをy＝ax^2+bx+cに代入しようとする。
- ３点から２次関数を決定
- タイトル グラフ上の３点が与えられた２次関数の決定)
- 根拠 ２次関数はa,b,cまたはa,p,qの３パラメタを持ち、３点でそれらが決まる。)
- 手続き y＝ax^2+bx+cに３点のそれぞれ代入して、３元連立方程式を立て、解く。)
- 手続き x＝0の点が含まれていればcの値が求まるので、他の式に代入する。)
- 手続き x＝0の点がなければ、(1)式－(2)式、(1)式－(3)でcを消去する。)
- 手続き いずれの場合もa,bの連立方程式になるのでこれを解く。)
- 手続き cの値が求まっていない時は、a,bの値を代入してcを求める。)
- 図表 3点A(1, 6),B(-2, -9),C(4, 3)を通るグラフ
- 図表 3点(-2, 5),(1, -7),(3, -5)を通るグラフ
- 発問 3点A(Ax,Ay)、B(Bx,By)、 C(Cx,Cy)を通る２次関数を求めよ。)
- 不適切次元 ［x＝0の点が条件に含まれる場合を扱う］)
- 不適切次元 ［x≠0だが、x＝±1の点が条件に含まれる場合を扱う］)
- 不適切次元 ［yの値が等しい２点を条件に含む場合を扱う］)
- 不適切次元 ［x≠0かつx≠±1だが、xが整数の点だけを条件に含める］)
- 不適切次元 ［xが分数の点も条件に含める］)
- ヒント どの文字を消去すると計算しやすいですか？)
- 連立三元１次方程式
- 概要 例に示した(1)、(2)、(3)のような3つの文字についての連立方程式（を）)
- 名称 「連立3元1次方程式」という。)
- 手続き 連立3元1次方程式を解くには、 )
- 手続き まず1つの文字を消去し、 )
- 手続き 2つの文字の連立方程式を導いて、 )
- 手続き その2元1次連立方程式を解けばいい。 )
- 例 5＝4a-2b+c・・・(1)、-7＝a+b+c・・・(2)、-5＝9a+3b+c・・・(3))
- 図表 半径x[㎝]の円の面積y[cm^2]の図
- 軸に対する対称移動をした２次関数の決定
- タイトル 軸に対する対象移動をした２次関数の決定)
- 根拠 点(x,y)とx軸に関して対称な点は、(x,-y)である。)
- 根拠 点(x,y)とy軸に関して対称な点は、(-x,y)である。)
- 根拠 点(x,y)をx軸、y軸の両方に対称移動すると、原点に関する対称移動になる。)
- 式 y＝ax^2+bx+cをx軸に関して対称移動したグラフはy＝-(ax^2+bx+c)。)
- 式 y＝ax^2+bx+cをy軸に関して対称移動したグラフはy＝ax^2-bx+c。)
- 式 y＝ax^2+bx+cを原点に関して対称移動したグラフはy＝-ax^2+bx-c。)
- 例 ある２次関数を軸に関して対称移動したグラフの例を示す。)
- 図表 y=2x^2+1とy=-2x^2-1のグラフ
- 図表 y=1/2x^2-2x+3とy=-1/2x^2+2x-3のグラフ
- 発問 次の２次関数をx軸に関して対称移動したグラフの関数を求めよ。)
- 発問 次の２次関数をy軸に関して対称移動したグラフの関数を求めよ。)
- 不適切次元 ［２次の係数が1や-1以外の場合も扱う］)
- 不適切次元 ［２次の係数が正の場合と負の場合を扱う］)
- 不適切次元 ［１次の係数が0の場合も扱う］)
- 不適切次元 ［１次の係数が正の場合と負の場合を扱う］)
- 不適切次元 ［係数が分数の場合も扱う］)
- 不適切次元 ［同時にx軸、y軸の両方に関する対称を扱う］)
- 不適切次元 ［原点に関して対称な場合も扱う］)
![半径x[㎝]の円の面積y[cm^2]の図](math/m511-p17-fig1.JPG){kind=link}
